владимир, оставшись один, написать просьбу об отпуске. Выпишите из предложений глаголы - сказуемое и относящиеся к ним деепричастие с зависимыми словами.

написал - сказуемое, выр. гл. (Если в оригинале "решил написать", значит "решил написать"  составное глагольное сказуемое). 
оставшись один - деепричастие с зависимым словом.