Предмет: Алгебра
Автор: Аноним
Вопрос задан 9 лет назад

1) Постройте прямые в одной системе координат и укажите координаты точки их пересечения. Проверьте результат подстановкой найденной пары чисел в уравнения : 4x-3y=12 и 2x+2y=1.
2) Прямые 5x+2y=10, x= -2, y= -5, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Вычислите его площадь.

Ответы

Ответ дал: as11111

1) Решим систему, чтобы облегчить построение:

$left{{{4x-3y=12}atop{2x+2y=1|+*-2}}right.\left{{{4x-3y=12}atop{-7y=10}}right.\left{{{x=frac{3y+12}{4}}atop{y=-frac{10}{7}}}right.\left{{{x=frac{3y+12}{4}}atop{y=-frac{10}{7}}}right.\left{{{x=frac{27}{14}}atop{y=-frac{10}{7}}}right.$

Понимаем, что график не даст нам точные координаты пересечения и строим его схематически (см рис.)

2) Одна точка пересечения (-2; -5) (пересечение прямых x = - 2 и y = -5).

Найдем две точки пересечения:

5x + 2y = 10 и x = -2 ⇒ -10 + 2y = 10 ⇒ y = 10 ⇒ (-2; 10)

5x + 2y = 10 и y = -5 ⇒ 5x - 10 = 10 ⇒ x = 4 ⇒ (4; -5)

Т.к. один из углов треугольника образован пересечением перпендикулярных прямых x = - 2 и y = -5, то он прямоугольный и можем найти длину катетов, вычитая ординаты точек для пары (-2; -5) и (-2; 10) ⇒ a = 10 - (-5) = 15

и абсциссы точек для пары (-2; -5) и (4; -5) ⇒ b = 4 - (-2) = 6

Тогда $S=frac{ab}{2}=frac{15*6}{2}=45$

Для более общего решения найдем площадь треугольника заданного координатами трех точек в двухмерном декартовом пространстве как половину векторного произведения построенного на двух векторах задающих две стороны треугольника.

Для треугольника построенного на точках $(x_1;y_1),(x_2;y_2),(x_3;y_3)$ площадь будет равна: