Какое наименьшее количество последовательных чисел надо написать на доске, чтобы среди них обязательно нашлись два числа, разность которых делится на 10?

Чтобы нашлись 2 числа, разность которых делилась бы на 10, нужно, чтобы эти числа заканчивались на одну и ту же цифру. А такое происходит через 10 цифр. Одиннадцатое такое число и даст разность, кратную 10.
Ответ: любых подряд идущих цифр 11 чисел.