Докажите, что для любого выпуклого четырехугольника сумма диагоналей меньше, чем периметр.

Решение.    

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD. Докажем, что  AC+BD<p

Так как четырехугольник выпуклый, то каждая диагональ разбивает его на два треугольника.

Проведем диагональ АС. Согласно неравенству треугольника,

 AC<AB+BC

AC<AD+CD 

Сложив почленно данные неравенства, получим, 2AC<AB+BC+AD+CD

1AC<p, AC=p/2 

Проведем диагональ BD. Проведя аналогичные рассуждения, получим, BD<p/2

Сложив последние два неравенства, имеем AC+BD<p