Друзья, выкладываю интересную задачу с параметром(для хорошо разбирающихся в математике). Решал задачу, получил одну пару значений параметра: (-6;7). Хочется увидеть ваши варианты решения. основное условие: нельзя решать графически, только аналитическими методами.Задача такая.
Найдите все пары действительных чисел (a,b), для каждой из которых следующее неравенство не имеет ни одного решения на отрезке [1;5].
Приложения:
Kulakca:
задача, скорее всего, из вступительных экзаменов в ведущие вузы
Ответы
Ответ дал:
1
Хоть решать графически и нельзя, но представить себе график функции, безусловно, можно. Итак, это парабола с ветвями, направленными вверх. Нам нужно найти такие параметры параболы, чтобы на отрезке [1; 5] эта парабола находилась в пределах от -2 до 2.
Найдём минимальное и максимальное значение функции на отрезке. Как известно, минимальное/максимальное значение функции на отрезке может достигаться на концах этого отрезка или в точке, где производная равна нулю:
Теперь запишем несколько неравенств нахождения значения функции в промежутке, одновременно преобразовывая их:
Вычтем из второго неравенства первое:
Итак, 4a должно равняться -24! Следовательно, a = -6; подставим это значение во все неравенства (в качестве проверки и нахождения b):
Итак, b может равняться только 7.
Ответ: a = -6; b = 7.
Найдём минимальное и максимальное значение функции на отрезке. Как известно, минимальное/максимальное значение функции на отрезке может достигаться на концах этого отрезка или в точке, где производная равна нулю:
Теперь запишем несколько неравенств нахождения значения функции в промежутке, одновременно преобразовывая их:
Вычтем из второго неравенства первое:
Итак, 4a должно равняться -24! Следовательно, a = -6; подставим это значение во все неравенства (в качестве проверки и нахождения b):
Итак, b может равняться только 7.
Ответ: a = -6; b = 7.
просто решил сравнить различные подходы к решению. Лично я решал задачу с помощью исследования расположения корней квадратного трёхчлена относительно некоторых точек. Огромное спасибо Вам, что предоставили другой вариант решения!
Спасибо и Вам, интересная задача :)
самое главное, что с толку сбивает даже не начальный этап решения, а системы неравенств с двумя переменными ;)
Правда, у меня таких систем было больше и там вычитание дело не обошлось бы ;)
У меня все решения сразу упёрлись в график. Либо функция на промежутке монотонна, тогда смотреть значения на краях, либо на промежутке есть вершина параболы, тогда заглянуть ещё и в неё
Если решать моим способом, то мы получим две связанные параболы между собой
тогда фиксируем параболу, которая лежит ниже, так, чтобы её значения в точках 1 и 5 были отрицательны
дальше осталось рассмотреть парочку случаев относительно верхней параболы, и мы приходим к системам
но мне лично Ваш способ больше понравился, поскольку простым вычитанием мы избавились от одной из переменных, а в моём способе надо было ещё исследовать каждую систему
точнее одну, но всё же исследование нельзя назвать сильно простым
Похожие вопросы
1 год назад
1 год назад
8 лет назад