В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие на катетах. Найдите периметр прямоугольника, если его стороны пропорциональны числам 2 и 5, а длинна гипотенузы равна 18 см.

Пусть треугольник   ABC : <C =90° ; <B=<C =45° (AC =BC треугольник равнобедренный ) ;
AB =18 см  ;
вписанный прямоугольник   MNEF  ( M∈[AC] , N∈ [BC] , E , F  ∈ [ AB] ) .

a) MF : MN = 2 : 5 .  MF =2x ; MN =5x  ; P =2(MF+MN) =2(2x+5x) =14x.
В  ΔAFM : AF =MF =2x ;
В  ΔBEN  : BE  =NE =MF =2x ;
AF +FE +EB =18 см ;  * * *FE=MN =5x * * *
2x +5x+2x =18⇒ x =2(см) 
P =14x =14*2 см   =28  см. 
------------------------------------------
б) MF : MN = 5 : 2.  MF =5x ; MN =2x  ; P =2(MF+MN) =2(5x+2x) =14x. 
5x +2x+5x =18⇒12x =18⇔x=1,5 (см) .
P =14x=14*1,5 см = 21 см . 

ответ :  28  см , 21 см .