Предмет: Математика
Автор: Lutik1
Вопрос задан 2 года назад

Даны три различных натуральных числа, причем сумма любых двух из этих чисел делится на оставшееся. Докажите, что одно из этих чисел втрое больше другого.

Матов: пперезагрузи страницу если не видно

Ответы

Ответ дал: Матов

Положим что числа равны $a;b;c$
тогда по условию $\frac{a+b}{c}=k\\ \frac{b+c}{a}=n\\ \frac{a+c}{b}=m\\\\$
$k;n;m \in N$
Положим
$\frac{a}{c}=q; \frac{b}{c}=w ; \\ \\ \frac{w}{q}+\frac{1}{q}=n \\ \frac{q}{w}+\frac{1}{w}=m \\ q+w=k ; \\\\$
числа так же $n;m;k \in N$
Суммируя
$\frac{q+1}{w}+\frac{w+1}{q}+2 = n + m \\ w\ \textgreater \ 1\\$
  очевидно что $q=3 ; w=2$ единственно , так как
$q-1\ \textless \ w\ \textless \ q+1$
Откуда    $q= w$ что неверно , потому что числа разные
Значит одно из чисел больше в три раза другого

Теперь пусть
$a+b$ нацело делится на $c$
$a+b=c*k\\ b+c=a*n\\ a+c=b*m\\\\$
откуда получаем
   $\frac{b}{c} = \frac{n+1}{mn-1}\\ \frac{a}{c}= \frac{(m+1)(m+n+2)}{(n+2)(mn-1)} \\$
По таким же рассуждениям , как выше получаем , что одно из чисел больше второго в три раза

Похожие вопросы

Математика

1 год назад

1. Реши задачу. Из питомника привезли 3600 луковиц тюльпанов, а луковиц ирисов - в 5 раз меньше. Двенадцатую часть всех ирисов посадили на городские клумбы, а остальные отдали в детские сады.

Русский язык

1 год назад

Помогите пожалуйста очень срочно надо буду очень благодарна

Русский язык

1 год назад

из слов каждой строчки Составь и напиши предложения изменяя окончания в словах Определи род и склонение имен существительных единственного числа Запомни написание выделенного словарного слова

Русский язык

1 год назад