Найдите наименьшее значения произведения (1+x/y)(1+y/z)(1+z/x) для положительных значений переменных.

Можно воспользоваться очевидным неравенством 1+t≥2√t т.к. (1-√t)²≥0.
Тогда 1+x/y≥2√(x/y),  1+y/z≥2√(y/z), 1+z/x≥2√(z/x). Перемножая их, получим
(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≥8√(y/z·z/x·z/x)=8. Очевидно, что 8 достигается при x=y=z. Ответ: 8.