Помогите с логариф.уравнением по формуле перехода к новому основанию

$log _{2x+1}(5+8x-4x^{2} )+log_{5-2x}(1+4x+4 x^{2} )=4$

Одну часть разложил на множители, а вторая не хочет.

artalex74: (5-2х)(2ч+1)

artalex74: (5-2х)(2х+1)

artalex74: дальше не сложно

kostichevs: но каааак??? действительно, дальше намного легче. Но я так и не понял, а как его разложили?

kostichevs: ух ты, я как всегда, упустил самое важное, спасибо!

artalex74: очень часто при разложении подсказка где-то в условии )))

artalex74: не забывайте про ОДЗ )))

kostichevs: так точно, ОДЗ от -1/2 до 2,5

artalex74: у меня ОДЗ (-0,5; 2)U(2; 2,5)

kostichevs: в ответе так, как у вас. А как мы нашли, что х не равен 2 ?

Ответы

Ответ дал: artalex74

ОДЗ: $\begin{cases} 2x+1\ \textgreater \ 0,\ 2x+1 \neq 1; \\ 5-2x\ \textgreater \ 0,\ 5-2x \neq1; \\ (5-2x)(2x+1)\ \textgreater \ 0; \\ (2x+1)^2\ \textgreater \ 0 \end{cases}\ =\ \textgreater \ \begin{cases} x\ \textgreater \ -1/2,\ x \neq 0; \\ x\ \textless \ 2,5;\ x \neq2; \\ x \in (-1/2;\ 2,5); \end{cases} =\ \textgreater \ \\ \\ \boxed{ x \in (-0,5;0) \cup (0;2) \cup (2; 2,5)}$
Решаем уравнение:
$log_{2x+1}(5-2x)(2x+1)+log_{5-2x}(2x+1)^2=4$
$log_{2x+1}(5-2x)+log_{2x+1}(2x+1)+2log_{5-2x}(2x+1)=4 \\ log_{2x+1}(5-2x)+1+2log_{5-2x}(2x+1)=4 \\ \dfrac{1}{log_{5-2x}(2x+1)}+2log_{5-2x}(2x+1)=3 \\ \\ 3AMEHA:\ \ log_{5-2x}(2x+1)=t \\ \frac{1}{t}+2t=3 \\ 2t^2-3t+1=0 \\ t_1=1,\ t_2=0,5$
1)
$log_{5-2x}(2x+1)=1 \\ 5-2x=2x+1 \\ x=1\ \in OD3$
2)
$log_{5-2x}(2x+1)=0,5 \\ 2x+1=\sqrt{5-2x} \\ 4x^2+4x+1=5-2x \\ 2x^2+3x-2=0\\ x=-2 \notin OD3 \\ x=0,5 \in OD3$
Ответ: 0,5; 1.

kostichevs: но как мы определили что х не равен 2 ? в решении указано это, но я не вижу никаких предпосылок для этого

artalex74: во второй строке - в ОДЗ

artalex74: Первая строка в ОДЗ говорит об ограничениях для основания первого логарифма, вторая - то же самое для второго

kostichevs: ах вот в чем дело. С таким я еще не сталкивался. Теперь уж точно все прояснилось для меня :)

artalex74: часто встречаются уравнения и неравенства с числовыми основаниями, и люди осваивают алгоритм решения. когда появляются уравнения и неравенства с буквой в основании, этот алгоритм надо дополнить по определению логарифма, и многие не обращают на это внимания - ошибаются. удачи!

kostichevs: один маленький вопрос - нет разницы, какое основание я выберу для перехода к новому? 5-2х или 2х+1. Теоретически?

kostichevs: Хотя сейчас сам и проверю :)

kirichekov: нет. я решила с основанием 2х+1. ответ тот же

kostichevs: спасибо! Теперь я точно круче всех))) Очень рад, что разобрался. Учитывая, сколько я за одним этим примером просидел

kirichekov: хорошие примеры. удачи Вам

Ответ дал: Аноним

Смотреть во вложении

Приложения:

kostichevs: Спасибо. Всегда удивляюсь, как красиво может быть построено решение примера. У меня все время хаотично по листу разбросаны выражения, формулы и вообще весь алгоритм решения.

Похожие вопросы

Русский язык

1 год назад

Помогите пожалуйста. С русским языком Дам 100 баллов заранее спасибо Номер 3(а) и (б)

Математика

1 год назад

СРОЧНО! Дам 20 балов! Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 15 км/ч, другого - 20 км/ч. Какое расстояние будет

Українська мова

1 год назад

Утворіть від дієслів пасивні дієприкметники: Змолотити, змолоти, підперти, взути, розкрити, огорнути, натягнути. Від виділених слів утворіть паралельні форми: огорнути, натягнути

Русский язык

1 год назад