Из вершины квадрата на его плоскость опущен перпендикуляр. Расстояние от второго конца перпендикуляр до остальных вершин квадрата равно m и n (m < n). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата.

ВА - проекция наклонной МА на плоскость квадрата.
ВА⊥AD, значит и МА⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

ВС - проекция наклонной МС на плоскость квадрата.
ВА = ВС, значит и МА = МС.
BD - проекция наклонной MD не плоскость квадрата.

Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, у которой больше проекция.
МА = МС = m,
MD = n.

ΔMAD: ∠MAD = 90°,  по теореме Пифагора
               а = √(n² - m²)

ΔMAB: ∠MBA = 90°, по теореме Пифагора
               МВ = √(m² - a²) = √(m² - n² + m²) = √(2m² - n²)