BD - медиана треугольника ABC, |BD|=|AB|*(sqrt{3})/4 , а угол DBC=pi/2
Найти величину угла ABD (в градусах)

Продолжим медиану BD за точку D. На луче BD отложим отрезок DE=DB.
Получили BD=DE. А по условию AD=DC (медиана). Следовательно, четырехугольник АВСЕ - параллелограмм.
В этом параллелограмме диагональ ЕВ⊥BC (по условию ∠ DBC = 90°).
∠АВЕ=∠СЕВ (накрестлежащие). Значит, задача сводится к нахождению величины острого ∠ВЕС  прямоугольном ∆СВЕ.
Обозначим АВ=х, тогда и СЕ=х, Получим:

В прямоугольном ∆СВЕ гипотенуза СЕ=х и прилежащий катет .