Треугольник A B C и точки P и Q такие, что середина отрезка BP совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CQ- с серединой стороны AB. Докажите, что точки A ,P,Q лежат на одной прямой

Диагонали BP и AC в 4х-угольнике ABCP делятся пополам в точке пересечения. => ABCP паралелограм. => ∠CAP =∠ACB.
Аналогично QBCA папралелограм и  ∠QAB =∠ABC.
т.о. ∠QAB+∠BAC+∠CAP =∠ABC+∠BAC+∠CAP=180º, т.е. точки лежат на одной прямой