Предмет: Математика
Автор: anod2016
Вопрос задан 9 лет назад

При каком условии интеграл $intlimits{ frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} } , dx$ представляет собой рациональную функцию? Я не представляю что нужно мне доказать и что вообще за условие, условие для a,b и c?

Ответы

Ответ дал: Матов

Положим $frac{nx^2+mx+v}{x^3} + frac{ux+y}{(x-1)^2} = frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}$
Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты
$n+u=0 \ m-2n+y=0\ -2m+n+v=a \ m-2v=b \ v=c$
$m=2c+b \ n= a+2b+3c \ u=-a-2b-3c \ v=c \ y=2a+3b+4c$
$frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$ По отдельности
$frac{a+2b+3c}{x} + frac{2c+b}{x^2} + frac{c}{x^3}$ $+ frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$
По свойству интеграла
$intlimit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =intlimits{f_{1}(x)} , dx+intlimits { f_{2}(x)}dx+...+$
Получим
$frac{a+b+c}{1-x} - frac{b+2c}{x} - frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C$
Откуда следует , для того чтобы функция была рациональной
$1) a+2b+3c=0 \a+b+c textgreater 0 \ b+2c textless 0\ c textless 0 \\ 2)a+2b+3c=0 \ a+b+c textless 0 \b+2c textgreater 0\ c textless 0 \\ 3) a+2b+3c=0\a+b+c textless 0 \ b+2c textgreater 0\ c textgreater 0 \\$

Откуда решения
$1) \ a textgreater 0 ; b textgreater -frac{a}{2} ; c=frac{-a-2b}{3} \ a leq 0 b textgreater -2a ; c = frac{-a-2b}{3}$
$2) \ a textless 0 ; -frac{a}{2} textless b textless -2a ; c = frac{-a-2b}{3}$
$3) \ a textgreater 0 ; b textless -2a ; c=frac{-a-2b}{3} \ a leq 0 b textless -frac{a}{2} c=-frac{-a-2b}{3}$

Ответ дал: anod2016

а где условие?

Ответ дал: Матов

минуту

Похожие вопросы

Русский язык

2 года назад

Какое сприжение у слова вошли????????????

Английский язык

2 года назад

ПЕРЕВЕДИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ТЕКСТ!!! БЕЗ ПЕРЕВОДЧИКА Alice sat next to her sister under some trees. She had nothing to do. She looked at her sister's book but it had no pictures in it. Alice thought it

Литература