пересекает ли окружность луч с началом в центре окружности (O,R)? Если пересекает, то сколько будет точек пересечения?

Луч - это полупрямая. То есть он ограничен с одной стороны (началом) и бесконечен с другой стороны. Так как окружность конечных размеров, то луч с началом в центра окружности обязательно пересечет окружность и только в одной точке.