• Предмет: Алгебра
  • Автор: martiemiliya
  • Вопрос задан 9 лет назад

ПОМОГИТЕ С ПРЕДЕЛАМИ,ПОЖАЛУЙСТА!

1) lim_{x to -1}  frac{ x^{2} -x-2}{ x^{3} +1} =
2) lim_{x to  pi +0}  frac{  sqrt{1-cosx} }{ sinx} =
3) lim_{x to infty}(  frac{5x^2}{1- x^{2} } - 2^{ frac{1}{x} }} )=
4) lim_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ x^{2} -49}  =

Ответы

Ответ дал: Artem112
0
1.
limlimits_{x to -1} frac{ x^{2} -x-2}{ x^{3} +1} =limlimits_{x to -1} frac{ (x-2)(x+1)}{ (x +1)(x^2-x+1)} =limlimits_{x to -1} frac{ x-2}{ x^2-x+1} =frac{ -1-2}{ (-1)^2-(-1)+1}=-1
Так как изначально возникает неопределенность [0/0], то необходимо сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя (х+1)

2.
 limlimits_{x to pi +0} frac{ sqrt{1-cos x} }{ sin x} =frac{ sqrt{1-cos (pi+0) } }{ sin (pi+0) } =frac{ sqrt{1-(-1) } }{ -0} =frac{ sqrt{2}  }{ -0} =-infty
Так как предел находится при приближении к числу π справа, то синус прежде чем принять значение 0 в точке π будет отрицательным и находиться в третьей четверти

3.
 limlimits_{x to infty}( frac{5x^2}{1- x^{2} } - 2^{ frac{1}{x} }} )= limlimits_{x to infty} frac{5x^2}{1- x^{2} } - limlimits_{x to infty} 2^{ frac{1}{x} }} =
limlimits_{x to infty} cfrac{ frac{5x^2}{x^2} }{ frac{1}{x^2} -  frac{x^2}{x^2}  } -2^{  limlimits_{x to infty} frac{1}{x} }} =
\
=limlimits_{x to infty} frac{ 5 }{ frac{1}{x^2} - 1  } -2^0 =frac{ 5 }{ - 1  } -1 =-5-1=-6
Предел разности равен разности пределов, чтобы избавиться от неопределенности [∞/∞] необходимо числитель и знаменатель разделить на старшую степень, в данном случае х²

4.
1 способ
limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} =
-limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ 49-x^2} =
-limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ (7-x)(7+x)} =
\
=-limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ (4-(x-3))(x+7)} =
-limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ (2- sqrt{x-3})(2+ sqrt{x-3}) (x+7)} =
\
=-limlimits_{x to 7} frac{1 }{ (2+ sqrt{x-3}) (x+7)} =
- frac{1 }{ (2+ sqrt{7-3}) cdot(7+7)} =
- frac{1 }{ 4 cdot14} =- frac{1}{56}

2 способ
 limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} =
 limlimits_{x to 7} frac{(2- sqrt{x-3})' }{( x^{2} -49)'} =
limlimits_{x to 7} frac{0- frac{1}{2sqrt{x-3}}  }{2x} =
\
=-limlimits_{x to 7} frac{1  }{4xsqrt{x-3}} =-frac{1  }{4cdot7sqrt{7-3}} =- frac{1}{56}
Правило Лопиталя: предел отношения двух функция равен пределу отношения производных этих функций
Ответ дал: martiemiliya
0
в 3 ответ -4
Ответ дал: martiemiliya
0
а у вас -6
Ответ дал: martiemiliya
0
мы не проходили правило лопиталя,можно как-то по-другому решить?
Ответ дал: Artem112
0
можно и по-другому, а в третьем не знаю откуда -4 взяли...
Ответ дал: Alabaster
0
1) числитель и знаменатель разложим на множители.
Числитель:
x^2-x-2=(x-x_1)(x-x_2)
x_1=2; x_2=-1 По теореме Виета
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
Знаменатель:
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

lim_{xto-1}frac{x^2-x-2}{x^3+1}=lim_{xto-1}frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)(x^2-x+1)}=lim_{xto-1}frac{x-2}{x^2-x+1}=frac{-1-2}{1+1+1}=-1



3)
lim_{xtoinfty}(frac{5x^2}{1-x^2}-2^frac{1}{x})=lim_{xtoinfty}(frac{5x^2}{x^2(frac{1}{x^2}-1)}-2^frac{1}{x})=\=lim_{xtoinfty}(frac{5}{frac{1}{x^2}-1}-2^frac{1}{x})=frac{5}{0-1}-2^0=-5-1=-6



4)
lim_{xto7}frac{2-sqrt{x-3}}{x^2-49}=lim_{xto7}frac{2-sqrt{x-3}}{(x-7)(x+7)}=lim_{xto7}frac{(2-sqrt{x-3})(2+sqrt{x-3})}{(x-7)(x+7)(2+sqrt{x-3})}=\=lim_{xto7}frac{2^2-(sqrt{x-3})^2}{(x-7)(x+7)(2+sqrt{x-3})}=lim_{xto7}frac{4-x+3}{(x-7)(x+7)(2+sqrt{x-3})}=\=lim_{xto7}frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2+sqrt{x-3})}=-lim_{xto7}frac{1}{(x+7)(2+sqrt{x-3})}=-frac{1}{14*4}=-frac{1}{56}



2)
lim_{xtopi+0}frac{sqrt{1+cosx}}{sinx}=[1+cosx=2cos^2frac{x}{2};sinx=2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}]=\=lim_{xtopi+0}frac{sqrt{2cos^2frac{x}{2}}}{2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}}=lim_{xtopi+0}frac{sqrt{2}|cosfrac{x}{2}|}{2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}}=
Стремясь к пи справа(от +беск.) cos будет принимать отрицательные значения и находиться в 3 четверти, поэтому модуль раскрываем с минусом
=lim_{xtopi+0}frac{-sqrt{2}cosfrac{x}{2}}{2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}}=lim_{xtopi+0}frac{-sqrt{2}}{2sinfrac{x}{2}}=frac{-sqrt{2}}{2*sinfrac{pi}{2}}=-frac{sqrt{2}}{2}
Ответ дал: Alabaster
0
дорешал 2-ое, учитывая что под корнем стоит 1+cosx
Ответ дал: martiemiliya
0
а почему вы подставляете пи/2 во 2-ом?
Ответ дал: martiemiliya
0
а все поняла
Похожие вопросы