Существует ли целое число, которое при делении на 12 дает остаток 11, а при
делении на 18 – остаток 1?

да. берёшь любое число. например 5. умножаешь его на 12 и прибавляешь 11.(5*12+11=71) и получается число которое при делении на 12 даёт остаток 11. тоже самое и с 18.