отрезки АВ и СД имеют общую середину О .доказать треугольник АОС=ВОД

т.к. О - середина  , то 
АО=ОВ
СО=ОД
угол АОС = углу ДОВ как вертикальные
⇒ треугольники равны по первому признаку ( по двум сторонам и углу между ними)

Т.к. О общая середина, то АО = ОВ и СО =ОД. Т.к. угол АОС и угол ВОД являются вертикальными > они равны. И далее по двум сторонам и углу между ними (АО = ОВ и СО = ОД И угол АОВ равен углу ВОД) Ч.т.д.