НА стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD=CE. Докажите, что если AB=BC. то BD=BE. 

Что бы доказать, что ВД=ВЕ докажем, что треугольник АВД=треугольнику ЕВС.

Если АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный => угол А=углуС (углы равнобедренного треугольника при основании  равны)

треугольник АВД=треугольнику ЕВС по I признаку (АД=ДС по условию, уголА=углуС, АВ=ВС по условию)

Следовательно, ВД=ВЕ.