Докажите,что если две хорды перпендикулярны и одна из них в точке пересечения делится пополам,то другая является диаметром.

Существует такое свойство хорд:

Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. (Доказательство свойства: http://oldskola1.narod.ru/Nikitin/0070.htm)

Отсюда можно вывести, что раз хорда перпендикулярна ко второй и делит ее пополам, то она и является диаметром.