почему слово живёшь пишется с мягким знаком

Потому что к этому слову вопрос "Что делаешЬ" На конце мягкий знак,поэтому на конце слова живёшЬ тоже пишется мягкий знак. И вообще,если ты к примеру встретился (ась) со словом допустим пишется,то задаёшь вопрос "Что делает?" Мягкого знака нет,значит его в слове не писать.