Предмет: Алгебра
Автор: KARAEV
Вопрос задан 10 лет назад

(1+корень из 3i)^3=?

(1+корнеь из 3I) ^5 =?

(1+i)^-3степени=?

(1+i)в минус6 стпени =?

Вычислите и изобразите на комплексной плоскости

3^корень 64

3^корень из -27

Ответы

Ответ дал: Аноним

Рассмотрим $z=1+ sqrt{3} i$ . Модуль комплексного числа $|z|= sqrt{1^2+(sqrt{3} )^2} =2$ . Тогда

$1+isqrt{3} =2bigg( dfrac{1}{2} +i dfrac{sqrt{3} }{2} bigg)=2bigg(cos dfrac{pi}{3}+ isindfrac{pi}{3}bigg)$
Согласно формуле Муавра:
$boxed{z^3=2^3cdotbigg(cosdfrac{3pi}{3}+isindfrac{3pi}{3}bigg)=8cdotbigg(cos pi +isin pi bigg)=-8}$

Аналогично делаем и со вторым примером(По формуле Муавра).
$boxed{z^5=2^5cdotbigg(cosdfrac{5pi}{3}+isindfrac{5pi}{3}bigg)=32cdotbigg( frac{1}{2} -i frac{ sqrt{3} }{2} bigg)=16-16i sqrt{3} }$

Рассмотрим $z=i+1$ . Тогда $|z|= sqrt{2}$ и $z=sqrt{2} bigg( dfrac{1}{sqrt{2} } +idfrac{1}{sqrt{2} } bigg)= sqrt{2} bigg(cos dfrac{pi}{4} +isindfrac{pi}{4} bigg)$

По формуле Муавра:
$boxed{z^{-3}=( sqrt{2} )^{-3}bigg[cosbigg(-dfrac{3pi}{4} bigg)+isinbigg(-dfrac{3pi}{4} bigg)bigg]= - frac{1}{4} - frac{i}{4} }$

Аналогично

$boxed{z^{-6}=( sqrt{2} )^{-6}bigg[cosbigg(-dfrac{6pi}{4} bigg)+isinbigg(-dfrac{6pi}{4} bigg)bigg]= frac{i}{8} }$

$sqrt[3]{64}$
Рассмотрим $z=64+0i$ . Тогда $z=64(1+0i)=64cdot(cos 0+isin 0)$

По формуле Муавра:

$boxed{ sqrt[3]{z}=4bigg(cos frac{2 pi k}{3}+isin frac{2 pi k}{3} bigg),~~~ k=0,1,2 }$

$sqrt[3]{-27}$
Рассмотрим $z=-27+0i=27(-1+0i)=27(cos pi +isin pi )$

$boxed{ sqrt[3]{z}=3bigg(cos frac{ pi +2 pi k}{3}+isin frac{ pi +2 pi k}{3} bigg),~~~ k=0,1,2 }$

Приложения: