Что означает выделенное выражение из рассказа? говорят,ты никому спуску не даешь.

Никому спуску не даешь - это значит следить за людьми(определенным коллективом, например: классом, коллегами по работе, если начальник, заместитель), т. е. следить за дисциплиной, качеством работы. Не давать людям отдыхать в неположенное время.