В 5 «а» классе, в котором учится 23 ученика, ни у каких двух мальчиков количество друзей среди девочек-одноклассниц не совпадает. Какое наибольшее количество мальчиков может быть в 5 «а» классе?

Для начала рассмотрим сам принцип, начиная от минимального количества человек, удовлетворяющих условию, и постепенно его увеличивая.

Одному мальчику никто не нужен.
Двум мальчикам нужна одна девочка, первый будет ни с одной не дружить, второй будет с этой одной.
Трём мальчикам нужны две девочки. Первый ни с одной не дружит, второй дружит с одной девочкой (первой), третий мальчик дружит с обеими девочками.
Как мы видим, для того чтобы такой коллектив удовлетворял условию задачи, необходимо как минимум на одну девочку меньше.
Так как у нас максимально 23 ученика, то мальчиков в нём максимально 12 человек (и 11 девочек).