Может ли в одной политической системе существовать монархия и демократия? Свой ответ аргументируйте.

Нет, потому что это абсолютно не совместимые понятия.
Монархия - форма правления, при которой верховная государственная власть принадлежит одному лицу — монарху и в первую очередь обусловлена традициями передачи власти.
Демократия — образ политической жизни общества, при котором власти формируются и направляются исключительно нацией во всем ее многообразии и целостности ради достижения материального благосостояния, свободы и справедливости всеми гражданами, социальными группами и народами, ее образующими.