доказать, что боковое ребро правильной треугольной пирамиды перпендикулярно противоположенному ребру

Проекция бокового ребра лежит на высоте  треугольника в основании пирамиды. Значит она перпендикулярна стороне. А по теореме о трех перпендикулярах , если проекция бокового ребра перпендикулярна стороне треугольника в плоскости основания, то и само боковое ребро будет перпендикулярно этой стороне.