Даны прямая m и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей, которые касаются друг-друга и касаются прямой m в точках А и В. Найдите множество всех точек касания таких окружностей.
nabludatel00:
классная задача. Решение - это окружность с центром в середине отрезка АВ и радиусом = половине АВ, кроме, естественно точек А и В. Они "выколоты". Доказательство чуть длинноватое, нужно подумать.
Как раз просто тут :) если через точку касания провести общую касательную, она пересечет AB в её середине (тут ничего не надо доказывать - это просто по свойству касательных из одной точки )
То есть точка касания лежит на расстояниb AB/2 от середины AB.
Спасибо большое!!))))
Все верно, задача интересная, но доказательство... Вы исходили из того, что точки касания лежат на окружности, а надо наоборот - точки касания составляют окружность. Это доказывается вполне просто.
Мда. Я не исходил... :) Странно, мне казалось, что я предельно ясно объяснил. Есть точки A и B на прямой m, окружности (в произвольном случае, при любых возможных радиусах) касаются друг друга и прямой m. Это означает 1) AB - внешняя общая касательная к окружностям. 2) на линии цетров всегда есть точка внешнего касания этих окружностей
В произвольном случае (опять таки) в точке касания существует общая касательная (перпендикулярная линии центров). Эта касательная пересекает прямую AB внутри отрезка AB в какой то точке, которую можно обозначить M. Заметьте - я еще ничего не сказал и не сделал, просто "развил" условие задачи. А вот теперь - наконец - решение. Из свойства касательных к окружности, проведенных из одной точки, MA = ME; и ME = MB; где E - точка касания окружностей
То есть 1) MA = MB = AB/2; независимо от радиусов окружностей 2) ME = AB/2; это полное, завершенное и абсолютно точное доказательство того, что все возможные точки E лежат на окружности с центром в середине AB и радиусом AB/2
Извините, на свое сообщение я адресовал не Вам, а ответившему.
Ответы
Ответ дал:
2
Решение смотри в файле
Приложения:
Спасибо большое!)))
Идея решения понятна. Но Ваш ответ больше походит на решение обратной задачи, где доказывается, что построенная окружность является множеством точек касания заданных окружностей..
Да, в данном случае данное решение- это построение опренделенной окружности и доказательство, что любая точка этой окружности есть решением данной задачи (кроме А и В)
Ответ дал:
3
Центры окружностей касательных прямой m в точках А и В лежат на перпендикулярах к этой прямой проведенных в этих точках.
Проведем окружности касающиеся друг друга в точке С и прямой в точках А и В.
Центры этих окружностей лежат на пересечении перпендикуляров от А и В и серединных перпендикуляров АС и ВС.
Проведем касательную прямую СО. Она пересекает прямую АВ в точке О.
По свойству касательных, проведенных из одной точки ОА=ОС и ОС=ОВ. Значит ОА=ОВ и точка О середина АВ.
ОС медиана треугольника АВС.
Если медиана равна половине стороны к которой проведена, то угол этого треугольника прямой и треугольник - прямоугольный с гипотенузой равной диаметру окружности описанной вокруг него.
Следовательно: множество искомых точек - вершины прямоугольных с общей треугольников гипотенузой АВ описанных окружностью с диаметром АВ.
Проведем окружности касающиеся друг друга в точке С и прямой в точках А и В.
Центры этих окружностей лежат на пересечении перпендикуляров от А и В и серединных перпендикуляров АС и ВС.
Проведем касательную прямую СО. Она пересекает прямую АВ в точке О.
По свойству касательных, проведенных из одной точки ОА=ОС и ОС=ОВ. Значит ОА=ОВ и точка О середина АВ.
ОС медиана треугольника АВС.
Если медиана равна половине стороны к которой проведена, то угол этого треугольника прямой и треугольник - прямоугольный с гипотенузой равной диаметру окружности описанной вокруг него.
Следовательно: множество искомых точек - вершины прямоугольных с общей треугольников гипотенузой АВ описанных окружностью с диаметром АВ.
Приложения:
Да, и центры как раз не лежат, там где вы указали. ... Решение неверно.
Центры всех касающихся окружностей лежат в точке пересечения перпендикуляров из А и В и касательной к окружности с диаметром АВ. Кроме, естественно, А и В.
Следовательно: множество искомых точек - вершины прямоугольных треугольников описанных окружностью с диаметром АВ. = Согласна.
Если взять ЛЮБУЮ т.С, как у Маршал500, то разве всегда АСВ будет 90 градусов?. Нет! Это раз. Второе - окружности, касающиеся друг друга т прямой в точках А и В так не строят . Они будут пересекаться друг с другом в двух точках, либо в одной (частный случай). В общем, решение неправильное, если нужно -"разжую" и покажу даже на примерах.
Да, в этом пункте - насчет любой т.С - есть неточность. Точка С - точка касания окружностей. и лежит на луче из середины АВ, не лежащем на m..
Но луч, опять же, можно провести в любом направлении. Здесь окружности могут быть любого размера, суть не изменится. Все точки касания будут равноудалены от середины АВ.
Странно, что вы все как-то пропустили :) Все разговоры, как расположены центры окружностей, совсем не нужны. Вот все решение в сухом остатке. Пусть C - точка внешнего касания двух окружностей, для которых AB - общая внешняя касательная (A и B - точки касания). В точке С есть общая касательная (перпендикулярная линии центров), которавя пересекает AB в точке M. MA = MC = MB = AB/2; поэтому в любом случае, независимо от радиусов окружностей точка C находится на расстоянии AB/2 от середины AB.
то есть - другими словами - на окружности, построенной на AB, как на диаметре. Разговоры, включать точки A и B, или нет - совсем не существенны. А вот то, что угол ACB прямой - это важное следствие, не имеющее отношения к решению :)
Мало какое решение задачи удостаивается такого долгого обсуждения).Требуется найти множество ВСЕХ точек касания. В данном случае множество всех точек касания лежит на окружности с диаметром АВ.
А точки А и В упоминаются как исключение, думаю, для особо дотошных.
Похожие вопросы
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад