1) из точки О,являющейся центром окружности,на хорду СЕ опущен перпендикуляр ОМ. Докажите,что точка М является серединой хорды.

 

2)Проведите в окружности 2 диаметра MN и DF. Докажите,что хорды MD и NF равны.

 

3)Дано:О-центр окружности,АВ =DC  Доказать: угол АОВ = углу DOC

Если концы хорды соединить с центром окружности, получится равнобедоенный треугольник СЕО, где СО=ЕО. В равнобндренном треугольнике высота, опущенная из вершины треугольника есть медиана и биссектриса угла. Значит, точка М - середина хорды СЕ.

Треугольники МОД и FON равны, т.к. две стороны одного равны двум сторонам другого (радиусы), а углы между ними MOD и FON - вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит MD=FN.

Треугольники АОВ и ДОС равны по трём сторонам. АВ=ДС по условию, две другие стороны каждого треугольника - радиусы окружности. А против  равных сторон треугольников лежат равные углы. Значит углы АОВ  и ДОС равны.