Имея в виду табличные интегралы:

$1). int{dx} = x + C ;$

$2). int{x^n} , dx = frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C ; n neq -1 ;$

выведем ещё один так, как будто мы не знаем,
что производная логарифма – это гипербола:

$x > 0 Rightarrow int{ frac{dx}{x} } = int{ d(e^{ln{x}})/e^{ln{x}} } ;$

$x < 0 Rightarrow int{ frac{dx}{x} } = int{ d(-e^{ln{(-x)}})/(-e^{ln{(-x)}}) } = \\ = int{ -d(e^{ln{(-x)}})/(-e^{ln{(-x)}}) } = int{ d(e^{ln{(-x)}})/e^{ln{(-x)}} } ;$

и вообще:

$int{ frac{dx}{x} } = int{ d(e^{ln{|x|}})/e^{ln{|x|}} } ;$

учтём, что:

$d(e^t) = e^t dt ; Rightarrow d(e^{ln{|x|}}) = e^{ln{|x|}} d( ln{|x|} ) ;$

тогда:

$int{ frac{dx}{x} } = int{ d(e^{ln{|x|}})/e^ln{|x|} } = int{ frac{ e^{ln{|x|}}d( ln{|x|} ) }{ e^{ln{|x|}} } } = int{ d( ln{|x|} ) } = ln{|x|} + C ;$

Итак:

$1). int{dx} = x + C ;$

$2). int{x^n} , dx = frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C ; n neq -1 ;$

$3). int{ frac{dx}{x} } = ln{|x|} + C ;$

Возьмём интеграл:

$int{ frac{3dx}{4x-5} } = 3 int{ frac{dx}{4x-5} } = frac{3}{4} int{ frac{d(4x)}{4x-5} } = frac{3}{4} int{ frac{d(4x-5)}{4x-5} } = frac{3}{4} ln{|4x-5|} + C ;$

Проверим:

$( frac{3}{4} ln{|4x-5|} + C )'_x = frac{3}{4} cdot frac{1}{4x-5} cdot 4 = frac{3}{4x-5} ;$

З А Д А Н И Е:

Найти неопределённый (обычный) интеграл и проверить его дифференцированием (взять проиводную):

$int{ frac{2dx}{3-4x} } .$

Ответа на этот вопрос пока нет. Попробуйте найти его через форму поиска.

Похожие вопросы

Математика

2 года назад

Геометрия

2 года назад

Геометрия

7 лет назад

Русский язык

7 лет назад

Алгебра

9 лет назад

Химия

9 лет назад

Литература

10 лет назад

Обществознание

10 лет назад