Чем отличается катушка с током от катушки с током и сердечником ?

индуктивностью .

Формула Индуктивности катушки

L= μ0 * μr * N^2 * S /  l

Чем больше относительная магнитная проницаемость μr материала сердечника -  тем выше индуктивность.

У хороших ферромагнетиков эта величина может достигать очень больших величин. Для обычной стали эта величина порядка сотни.

  Тем, что сердечник в катушке (сделанный из ферромагнетика) усиляет её магнитное поле.