Предмет: Алгебра
Автор: Незнайка7681
Вопрос задан 9 лет назад

Исследовать функцию и построить ее график $y=- x^{3} + x$

Ответы

Ответ дал: бабаУля

$y=-x^3+x$

1.
$D(f)=mathbb R$ - нет вертикальных асимптот

$f(-x)=-(-x)^3+(-x)=x^3-x=-(-x^3+x) Longrightarrow \\ f(-x)=-f(x)$
функция нечетная

2.
$k=lim_{xrightarrowpminfty}frac{f(x)}{x}=lim_{xrightarrowpminfty}frac{-x^3+x}{x}=\\=lim_{xrightarrowpminfty}frac{-x^3}{x}+frac{x}{x}=lim_{xrightarrowpminfty}(-x^2+1)=-infty$
наклонных асимптот нет

$k=lim_{xrightarrowpminfty}(-x^3+x)=mp infty$
идем влево - график уходит далеко вверх
идем вправо - график уходит далеко вниз

$E(f)=mathbb R$
любое число

3.
$y=f(0)=0^3+0=0\\ -x^3+x=0\ -x(x^2-1)=0\ x=0\\ x^2-1=0\ x^2=1\ x=pm1$

Точки пересечения с осью ОХ

4.
$f(x)=-x^3+x\ f'(x)=(-x^3+x)'=-3x^2+1\\ -3x^2+1=0\ 3x^2=1\ x^2=pm frac{1}{3}\\ x_{1/2}=pm sqrt{ frac{1}{3} }$

__-__ $- sqrt{frac{1}{3}}$ __+__ $sqrt{ frac{1}{3}}$ __-__

$(-infty; - sqrt{ frac{1}{3}})bigcup( sqrt{ frac{1}{3}};infty)$ убывает

$(-sqrt{ frac{1}{3}};sqrt{ frac{1}{3}})$ возрастает

$f(-sqrt{ frac{1}{3}})=-(-sqrt{ frac{1}{3}})^3-sqrt{ frac{1}{3}}=- frac{2}{3sqrt3}= -frac{2sqrt3}{9} approx-0,4\\ f(sqrt{ frac{1}{3}})=-(sqrt{ frac{1}{3}})^3+sqrt{ frac{1}{3}}=frac{2sqrt3}{9} approx0,4$

$f(-sqrt{ frac{1}{3}})$ - точка минимума

$f(sqrt{ frac{1}{3}})$ - точка максимума

5.
$f''(x)=(-x^3+x)''=-6x\\-6x=0\x=0$

__+__0__-__

$(-infty;0)$ вогнутая

$(0;+infty)$ выпуклая

$f(0)=0$ - точка перегиба

7.
Дополнительные точки

x | 2 | -2 |
y |-6 | 6 |

График прилагается

Приложения: