Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр KO. Докажите, что наклонные KA, KB и KC равны. Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскости треугольника, если AC=BC=a.

в прямоугольном треугольнике CO = AO = BO = AB/2 

проводим перпендикуляр OK из точки O 
имеем 3 прямоугольных треугольника AOK BOK COK 
доказываем равенство этих треугольников по 2м сторонам и углу между ними 

AO = OB = OC 
угол AOK = угол BOK = угол COK = 90 
OK - общая сторона 

т.к. треугольники равны значит соответствующие стороны тоже равны 

длины проекции этих наклонных это AO BO CO 
находим по теореме Пифагора

по каким 2-м углам равны треугольники?

середина гипотенузы прямоугольного треугольник - центр описанной около прямоугольного треугольника окружности.

ОА=ОВ (по условию)

ОС- медиана - радиус описанной окружности, =>
OA=OB=OC 
ОА, ОВ, ОС - проекции наклонных КА, КВ, КС => 
КА=КВ=КС - равные наклонные имеют равные проекции

по условию АС=ВС=а, => ΔАВС прямоугольный равнобедренный
по теореме Пифагора: АВ²=АС²+ВС²
АВ²=2а².   АВ=а√2

АО=ОВ=ОС=а√2/2 длины проекций наклонных на плоскость ΔАВС