Как изменить площадь квадрата,если увеличить его диагональ в n раз?

Площадь квадрата - это квадрат длин катетов. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, отсюда 2 катета в квадрате равны квадрату гипотенузы. Значит один катет в квадрате равен квадрат гипотенузы деленный на два, что и является площадью квадрата.

Пусть гипотенуза равна а, тогда площадь квадрата находим по формуле:



Площадь квадрата при изменении диагонали в n раз будет меняться по формуле:

Площадь квадрата равна S=a², где а - сторона квадрата. Диагональ квадрата по теореме Пифагора равна
d²=a²+a²=2a²
Отсюда 
a²=d²/2
Подставим значение а в формулу площади
S=d²/2
Если диагональ увеличить в n раз, то её размер будет d*n. Подставим это значение диагонали в формулу площади:
S₁=(d*n)²/2=(d²/2)*n²=S*n²
То есть площадь квадрата увеличится в n² раз.