Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

Векторами можно, например. Вообще с нуля, не привлекая никакие описанные окружности и о то, что гипотенуза лежит на её диаметре.

Вводим ортонормированный базис  в вершине прямого угла с ортами, направленными по катетам. В этом базисе катеты (AB и AC) будут иметь компоненты и , а гипотенуза — компоненты .

Половина вектора , конец E которого будет точкой исследуемой медианы, принадлежащей гипотенузе, имеет компоненты . Следовательно, медиана будет иметь компоненты .

Находим длину (норму) вектора , которая и будет представлять длину медианы:

.

А длина (норма) вектора гипотенузы :

.

Следовательно, длина медианы AE в точности равна половине длины гипотенузы BC.

Утверждение доказано.