В окружности с центром O проведены хорды AC и BD так, что они пересекаются в точке P. Докажите, что угол APB равен полусумме углов AOB и COD.

Угол  АРВ - внешний угол треугольника АДР. Значит, угол АРВ = угол РАД + угол АДР.

Угол ДАР = угол ДАС = 1/2 дуги ДС (т.к. вписанный). 

Угол АДР = угол АДВ = 1/2 дуги АВ (т.к. вписанный) .

Тогда угол АРВ = (дуга АВ + дуга СД)/2
Дуга АВ = центральному углу АОВ
Дуга СД = центральному углу СОД
Угол АРВ = (угол АОВ+угол СОД)/2