однокоренные ли слова друг, вдруг

Нет,потому что они не родственные
друг-это товарищ,а вдруг означает неожиданно.Например:
Моего лучшего ДРУГА зовут Саша
и
Лиса ВДРУГувидела медведя и испугалась

Друг:корень-друг. Вдруг:корень-вдруг. Конечно же эти слова неоднокоренные,так как они имеют разный корень и лексическое значение.