В окружности с центром в точке О проведены хорды АС и ВД ,так что АС переcекает ВД в точке Р,требуется доказать что угол АРВ равен полусумме углов АОВ и СОД

Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

      Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.