С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или
произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое
место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 78

Нет. Исходя из условий задания 78 можно получить только из следующих чисел 39 (39*2=78), 87(перевернув 78) и 93( 93 перевернуть, получится 39*2=78). Все эти числа не четные и путем умножения на 2 не получатся.