докажите что если центр вписанной в треугольник окружности лежит на медиане треугольника то этот треугольник равнобедренный

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. Это важый факт.

Если он при этом лежит и на медиане, то треугольник как минимум равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота проведенные к основанию совпадают.