В четырехугольнике АВСД на сторонах отмечены четыре точки, делящие стороны в отношении 1:4, считая от вершин В и Д. Докажите, что отмеченные точки являются вершинами параллелограмма

Все по той же схеме, как и если соединены середины сторон.

Пусть К лежит на АВ, L на ВС, M на CD, N на AD.

Тогда  - к примеру - треугольники ABD и AKN подобны (стороны их общего угла BAD пропорциональны) поэтому равны углы AKN и ABD, то есть KN II BD. 

Точно так же доказывается, что LM II BD, LK II AC, MN II AC.

То есть противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны. ЧТД