найдите и исправьте ошибки в предложениях. Объясните, в чём состояла ошибка.

1) Вы и сами отметили, что употреблён неправильный падеж (Анну Андреевну)
2) Наречие "таким образом" отвечает на вопрос "как? каким образом? ", а глагол "находилась" подразумевает вопрос "где?". Значит чтобы не искажался смысл меняем "находилась" на "располагалась".
3) Глагол "увидев" стоит в прошедшем времени, а "становится" - в настоящем. Неверное согласование времен.
Либо замена "увидев" на "видя", либо замена "становится" на "стало".
4)Глагол "ждать" подразумевает вопрос "чего? кого? ", а перед ним стоит "что? ". А вот "увидел что" - всё верно.
Так что "он увидел то, что ждал, что смутно надеялся увидеть".