Предмет: Алгебра
Автор: yatvoydroug
Вопрос задан 8 лет назад

Логарифмическое неравенство
Заранее огромное спасибо за помощь!

Приложения:

Ответы

Ответ дал: dmital

Найдем область определения дроби в левой части. Знаменатель определен при $xneq 0$ , числитель определен, если
$3cdot 2^{x-1}-1> 0 \ 3cdot 2^{x-1}> 1 \ 2^{x-1} > frac{1}{3} \ x-1 > log_2(frac{1}{3}) \ x > log_2(frac{1}{3})+1$
Заметим, что $log_2(frac{1}{3})+1=-log_2(3)+1<0$
Таким образом, область определения дроби
$(log_2(frac{1}{3})+1;0)cup(0;+infty)$

Найдем значения аргумента, при которых числитель неотрицателен:
$log_2(3cdot 2^{x-1}-1)geq 0 \ 3cdot 2^{x-1}-1geq 1 \ 3cdot 2^{x-1}geq 2 \ 2^{x-1} geq frac{2}{3} \ x-1 geq log_2(frac{2}{3}) \ x geq log_2(frac{2}{3})+1$
$log_2(frac{2}{3})+1=log_2(2)-log_2(3)+1=2-log_2(3)>0.$

Таким образом, на интервале $(log_2(frac{1}{3})+1;0)$ и числитель и знаменатель принимают отрицательные значения, поэтому дробь принимает положительные значения и все точки этого интервала нам подойдут.

На интервале $(0;log_2(frac{2}{3})+1))$ числитель принимает отрицательные значения, а знаменатель принимает положительные значения, поэтому дробь принимает отрицательные значения.

На луче $[log_2(frac{2}{3})+1;+infty)$ числитель принимает неотрицательные значения, знаменатель принимает положительные значения, поэтому дробь принимает неотрицательные значения и все точки этого луча нам подойдут.

Ответ: $(log_2(frac{1}{3})+1;0)cup[log_2(frac{2}{3})+1;+infty).$