Предмет: Алгебра
Автор: karavanov1
Вопрос задан 8 лет назад

Иррациональное неравенство. Требуется объяснение, решать ничего не надо.
Текст из учебника:
" Пример. Решим иррациональное неравенство $sqrt{x-1} textgreater 3-x$
Решение. Область определения неравенства задаётся условием: x-1≥0, т.е. x≥1. Правая часть неравенства обращается в нуль при x=3, и она отрицательна при x>3. Учитывая эти условия утверждаем, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
$1.quad left { {{1 leq x leq 3} atop {x-1 textgreater (3-x)^2}} right. \\2. quad left { {{x textgreater 3} atop {sqrt{x-1} textgreater 3-x}} right.$

Вторая система понятна мне. А вот в первой системе это условие непонятно $1 leq x leq 3}$

Ответы

Ответ дал: NNNLLL54

Это условие вытекает из двух условий.
1 условие : рассматриваем случай, когда правая часть неотрицательна (положительна или ноль), ведь левая часть, неотрицательный корень, может быть больше как положительного числа, так и нуля:
$3-x geq 0; ; to ; ; x leq 3$ .
2.Подкоренное выражение неотрицательно $x-1geq 0; ; to ; ; xgeq 1$ .
Так как неравенства должны выполняться одновременно, то пересечение этих неравенств даст: $1leq xleq 3$ .

$sqrt{f(x)} textgreater q(x); ; Leftrightarrow ; ; left [ {{ left { {{g(x) geq 0} atop {f(x) textgreater g^2(x)}} right. } atop { left { {{g(x) textless 0} atop {f(x) geq 0}} right. }} right.$

Первую систему иногда пишут в виде $left { {{g(x) geq 0,; f(x) geq 0} atop {f(x) textgreater g^2(x)}} right.$ . Но $f(x)geq 0$ фактически лишнее неравенство, оно выполняется автоматически потому, что $f(x)>g^2(x)geq 0$ , ибо полный квадрат всегда неотрицателен.