Предмет: Алгебра
Автор: makson405
Вопрос задан 8 лет назад

Помогите решить дифф. уравнение. Решить нужно только первое задание. Желательно развернутое решение.

Приложения:

Ответы

Ответ дал: KayKosades

Уравнения такого вида называются уравнениями Бернулли.
Решение будем искать в виде y=uv, где u и v - функции от x.
Сначала найдем какое нибудь частное решение уравнение $u'+u=0$ Переменные легко разделяются:
$frac{du}{u} =-dx \ ln|u|=-x+C_1 \ u=e^{-x+C_1}=e^{C_1}e^{-x}=Ce^{-x} \$
Это общее решение, положим С=1 получим частное решение $u=e^{-x}$
Теперь найдем v. Подставим в исходное уравнение y=uv=ve^{-x} и посмотрим что выйдет:
$(ve^{-x})'+ve^{-x}=x sqrt{ve^{-x}} \ v'e^{-x}-ve^{-x}+ve^{-x}=x sqrt{ve^{-x}} \ v'e^{-x}=x sqrt{ve^{-x}} \ frac{v'}{ sqrt{v}} = frac{xsqrt{e^{-x}}}{e^{-x}} \ intlimits frac{dv}{ sqrt{v} } = intlimits x e^{ frac{x}{2}} dx \ 2sqrt{v} = 2e^{ frac{x}{2} }(x-2) +C_1\ v=(e^{ frac{x}{2} }(x-2) +C)^2$
Тогда $y=e^{-x}(e^{ frac{x}{2} }(x-2) +C)^2$
Подставив вместо y и x нули, находим C=2 и частное решение, удовлетворяющее условию y(0)=0:
$y=e^{-x}(e^{ frac{x}{2} }(x-2) +2)^2$

Ответ дал: KayKosades

Сюда же пишем решение y=0, которое тоже удовлетворяет начальным условиям.

Похожие вопросы

Русский язык

2 года назад

указать варианты в котором на месте пропуска пишется непроверяемая безударная гласная в корне слова: а)нас...комое; б)зам....часть; в)с....рийный; г)м...аргарин;?

Английский язык

2 года назад

Complete the blanks with the correct form of the word given at the end of each sentence. AN INNOCENT MAN Last night, Joe Bloggs was arrested on (1) ………………. of robbery. (1/suspect) The police had no

Математика

6 лет назад

Виконай множення А)-34•(-0,5) Б)2,3•(-2) В)-0,1•34,5 Г)-5,02•(-11)