Ответы
Ответ дал:
0
Я буду демонстрировать верность для базы и доказывать шаг, все утверждение будет верно по аксиоме математической индукции
6)
База: n=1, 4^2-1 = 15 делится на 5
Шаг: Пусть 4^2n-1 делится на 5, то есть 4^2n-1 = 5k
Тогда для n+1 имеем
Последнее очевидно делится на 5.
7)
База: n=1, n^3+11n = 1+11 = 12 делится на 6
Шаг: пусть n^3+11n делится на 6, то есть n^3+11n = 6k
Тогда для n+1
![(n+1)^3+11(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+11n+11 = \
=6k+ 3n^2+3n=12 = 6k+12+3n(n+1)](https://tex.z-dn.net/?f=%28n%2B1%29%5E3%2B11%28n%2B1%29+%3D+n%5E3%2B3n%5E2%2B3n%2B1%2B11n%2B11+%3D+%5C%0A%3D6k%2B+3n%5E2%2B3n%3D12+%3D+6k%2B12%2B3n%28n%2B1%29 "(n+1)^3+11(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+11n+11 = \
=6k+ 3n^2+3n=12 = 6k+12+3n(n+1)")
Первые два слагаемые очевидно делятся на 6, последнее тоже делится на 6, ибо делится на 3 и на 2 тоже, потому что хотя бы одно из n и n+1 четно.
8)
База: n=1, 4^n+15n = 4+15 = 19 делится на 9 с остатком 1
Шаг: пусть 4^n+15n делится на 9 с остатком 1, то есть 4^n+15n = 9k+1
Тогда для n+1
![4^{n+1}+15(n+1) = 4cdot4^n+15n+15 = 4cdot(9k+1-15n)+15n+15 =\
=36k-45n+19 = 9(4k-5n+2)+1](https://tex.z-dn.net/?f=4%5E%7Bn%2B1%7D%2B15%28n%2B1%29+%3D+4cdot4%5En%2B15n%2B15+%3D+4cdot%289k%2B1-15n%29%2B15n%2B15+%3D%5C%0A%3D36k-45n%2B19+%3D+9%284k-5n%2B2%29%2B1 "4^{n+1}+15(n+1) = 4cdot4^n+15n+15 = 4cdot(9k+1-15n)+15n+15 =\
=36k-45n+19 = 9(4k-5n+2)+1")
Последнее выражение очевидно дает 1 в остатке при делении на 9
10)
База: n=2, 2^n=4>3
Шаг: пусть 2^n>n+1, тогда для n+1
11)
База n=5, 2^n = 32>25
Шаг: пусть 2^n>n^2, тогда для n+1
В этой цепочке используется тот факт, что при n>=5, n^2>2n+1.Докажем это
![n^2 textgreater 2n+1\
n^2-2n-1 textgreater 0\
(n-1)^2 textgreater 2\
left[
begin{aligned}
&n textgreater 1+sqrt{2}\
&n textless 1-sqrt{2}
end{aligned}](https://tex.z-dn.net/?f=n%5E2+textgreater++2n%2B1%5C%0An%5E2-2n-1+textgreater++0%5C%0A%28n-1%29%5E2+textgreater++2%5C%0Aleft%5B%0Abegin%7Baligned%7D%0A%26amp%3Bn+textgreater++1%2Bsqrt%7B2%7D%5C%0A%26amp%3Bn+textless++1-sqrt%7B2%7D%0Aend%7Baligned%7D "n^2 textgreater 2n+1\
n^2-2n-1 textgreater 0\
(n-1)^2 textgreater 2\
left[
begin{aligned}
&n textgreater 1+sqrt{2}\
&n textless 1-sqrt{2}
end{aligned}")
Так как 5>1+√2, мы заключаем, что сделали правильный переход
9)
База: n=1, 1+2+3+4+5 = 15 делится на 15
Шаг: пусть 1+2^(2n-1)+3^(2n-1)+4^(2n-1)+5^(2n-1) = 15k
тогда для n+1
Первые 3 слагаемых очевидно делятся на 15 без остатка, разберемся с 2 остальными
![3cdot2^{2n-1}+(5+3)cdot3^{2n-1} =15cdot3^{2n-2}+3cdot2^{2n-1}+3^{2n} =\
=15cdot3^{2n-2}+3cdot(2^{2n-1}+3^{2n-1})](https://tex.z-dn.net/?f=3cdot2%5E%7B2n-1%7D%2B%285%2B3%29cdot3%5E%7B2n-1%7D+%3D15cdot3%5E%7B2n-2%7D%2B3cdot2%5E%7B2n-1%7D%2B3%5E%7B2n%7D+%3D%5C%0A%3D15cdot3%5E%7B2n-2%7D%2B3cdot%282%5E%7B2n-1%7D%2B3%5E%7B2n-1%7D%29 "3cdot2^{2n-1}+(5+3)cdot3^{2n-1} =15cdot3^{2n-2}+3cdot2^{2n-1}+3^{2n} =\
=15cdot3^{2n-2}+3cdot(2^{2n-1}+3^{2n-1})")
первое делится на 15, второе делится на 3, осталось доказать что выражение в скобках кратно 5, сделаем по индукции
База: n=1, 2+3 = 5 делится на 5
Шаг: пусть 2^(2n-1)+3^(2n-1) = 5m, тогда для n+1
![2^{2n+1}+3^{2n+1} = 2^{2n-1}+3^{2n-1}+3cdot2^{2n-1}+8cdot3^{2n-1} = \
=5m+3cdot(2^{2n-1}+cdot3^{2n-1})+5cdot3^{2n-1} = 20m+15cdot3^{2n-2}](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B2n%2B1%7D%2B3%5E%7B2n%2B1%7D+%3D+2%5E%7B2n-1%7D%2B3%5E%7B2n-1%7D%2B3cdot2%5E%7B2n-1%7D%2B8cdot3%5E%7B2n-1%7D+%3D+%5C%0A%3D5m%2B3cdot%282%5E%7B2n-1%7D%2Bcdot3%5E%7B2n-1%7D%29%2B5cdot3%5E%7B2n-1%7D+%3D+20m%2B15cdot3%5E%7B2n-2%7D "2^{2n+1}+3^{2n+1} = 2^{2n-1}+3^{2n-1}+3cdot2^{2n-1}+8cdot3^{2n-1} = \
=5m+3cdot(2^{2n-1}+cdot3^{2n-1})+5cdot3^{2n-1} = 20m+15cdot3^{2n-2}")
Последнее делится на 5, что по обратной цепочке доказывает верность шага главной индукции
12)
База: n=1, 1>2√2-2, что легко проверить,так как 2√2-2 это где-то 0.82
Шаг: пусть
Тогда для n+1
Убедимся в справедливости последнего неравенства
![2(sqrt{n+1}-1)+frac{1}{sqrt{n+1}} textgreater 2(sqrt{n+2}-1)\
2sqrt{n+1}+frac{1}{sqrt{n+1}} textgreater 2sqrt{n+2}\
2(n+1)+1 textgreater 2sqrt{n^2+3n+2}\ 4n^2+12n+9 textgreater 4n^2+12n+8\
1 textgreater 0](https://tex.z-dn.net/?f=2%28sqrt%7Bn%2B1%7D-1%29%2Bfrac%7B1%7D%7Bsqrt%7Bn%2B1%7D%7D+textgreater++2%28sqrt%7Bn%2B2%7D-1%29%5C%0A2sqrt%7Bn%2B1%7D%2Bfrac%7B1%7D%7Bsqrt%7Bn%2B1%7D%7D+textgreater++2sqrt%7Bn%2B2%7D%5C%0A2%28n%2B1%29%2B1+textgreater++2sqrt%7Bn%5E2%2B3n%2B2%7D%5C+4n%5E2%2B12n%2B9+textgreater++4n%5E2%2B12n%2B8%5C%0A1+textgreater++0 "2(sqrt{n+1}-1)+frac{1}{sqrt{n+1}} textgreater 2(sqrt{n+2}-1)\
2sqrt{n+1}+frac{1}{sqrt{n+1}} textgreater 2sqrt{n+2}\
2(n+1)+1 textgreater 2sqrt{n^2+3n+2}\ 4n^2+12n+9 textgreater 4n^2+12n+8\
1 textgreater 0")
Последнее неравенство верно для любого натурального, а значит, верен и шаг индукции
6)
База: n=1, 4^2-1 = 15 делится на 5
Шаг: Пусть 4^2n-1 делится на 5, то есть 4^2n-1 = 5k
Тогда для n+1 имеем
Последнее очевидно делится на 5.
7)
База: n=1, n^3+11n = 1+11 = 12 делится на 6
Шаг: пусть n^3+11n делится на 6, то есть n^3+11n = 6k
Тогда для n+1
Первые два слагаемые очевидно делятся на 6, последнее тоже делится на 6, ибо делится на 3 и на 2 тоже, потому что хотя бы одно из n и n+1 четно.
8)
База: n=1, 4^n+15n = 4+15 = 19 делится на 9 с остатком 1
Шаг: пусть 4^n+15n делится на 9 с остатком 1, то есть 4^n+15n = 9k+1
Тогда для n+1
Последнее выражение очевидно дает 1 в остатке при делении на 9
10)
База: n=2, 2^n=4>3
Шаг: пусть 2^n>n+1, тогда для n+1
11)
База n=5, 2^n = 32>25
Шаг: пусть 2^n>n^2, тогда для n+1
В этой цепочке используется тот факт, что при n>=5, n^2>2n+1.Докажем это
Так как 5>1+√2, мы заключаем, что сделали правильный переход
9)
База: n=1, 1+2+3+4+5 = 15 делится на 15
Шаг: пусть 1+2^(2n-1)+3^(2n-1)+4^(2n-1)+5^(2n-1) = 15k
тогда для n+1
Первые 3 слагаемых очевидно делятся на 15 без остатка, разберемся с 2 остальными
первое делится на 15, второе делится на 3, осталось доказать что выражение в скобках кратно 5, сделаем по индукции
База: n=1, 2+3 = 5 делится на 5
Шаг: пусть 2^(2n-1)+3^(2n-1) = 5m, тогда для n+1
Последнее делится на 5, что по обратной цепочке доказывает верность шага главной индукции
12)
База: n=1, 1>2√2-2, что легко проверить,так как 2√2-2 это где-то 0.82
Шаг: пусть
Тогда для n+1
Убедимся в справедливости последнего неравенства
Последнее неравенство верно для любого натурального, а значит, верен и шаг индукции
Ответ дал:
0
спасибо огромное, ты- гений)))!!!за такое время столько решить..))! и объяснил доступно)
Ответ дал:
0
В последнем помарку поправил
Похожие вопросы
2 года назад
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад
9 лет назад