Ответы
Ответ дал:
0
Обратим внимание, что справа стоит xy' а слева xcos(x). Чтобы избавиться от этих проблемных членов, представим
Тогда
![(u'' - sin x) + x(u'+cos x) + u + sin x = xcos x\
u'' + xu' + u = 0\](https://tex.z-dn.net/?f=%28u%27%27+-+sin+x%29+%2B+x%28u%27%2Bcos+x%29+%2B+u+%2B+sin+x+%3D+xcos+x%5C%0Au%27%27+%2B+xu%27+%2B+u+%3D+0%5C%0A "(u'' - sin x) + x(u'+cos x) + u + sin x = xcos x\
u'' + xu' + u = 0\")
Фактически, мы угадали частное решение. Теперь найдем общее решение однородного уравнения. На самом деле нет, не найдем, просто найдем частное, но нам же задача ставится только функцию подобрать. Сделаем замену p = x^2, тогда
![p = x^2\
dp = 2xdx\
u' = du/dx = 2x(du/dp) = 2sqrt{p}u`\
u'' = du'/dx = 2sqrt{p}(du'/dp) = 2sqrt{p}(p^{-1/2}u` + 2sqrt{p}u``) = 2u`+4pu``\\](https://tex.z-dn.net/?f=p+%3D+x%5E2%5C%0Adp+%3D+2xdx%5C%0Au%27+%3D+du%2Fdx+%3D+2x%28du%2Fdp%29+%3D+2sqrt%7Bp%7Du%60%5C%0Au%27%27+%3D+du%27%2Fdx+%3D+2sqrt%7Bp%7D%28du%27%2Fdp%29+%3D+2sqrt%7Bp%7D%28p%5E%7B-1%2F2%7Du%60+%2B+2sqrt%7Bp%7Du%60%60%29+%3D+2u%60%2B4pu%60%60%5C%5C%0A "p = x^2\
dp = 2xdx\
u' = du/dx = 2x(du/dp) = 2sqrt{p}u`\
u'' = du'/dx = 2sqrt{p}(du'/dp) = 2sqrt{p}(p^{-1/2}u` + 2sqrt{p}u``) = 2u`+4pu``\\")
Где обратный штрих означает производную по p. Подставим все и получим
![4pu``+2pu`+2u`+u = 0\
2u`+u + 2p(2u`+u)` = 0](https://tex.z-dn.net/?f=4pu%60%60%2B2pu%60%2B2u%60%2Bu+%3D+0%5C%0A2u%60%2Bu+%2B+2p%282u%60%2Bu%29%60+%3D+0 "4pu``+2pu`+2u`+u = 0\
2u`+u + 2p(2u`+u)` = 0")
Частным решением последнего уравнения будет
![2u`+u = 0\
u = exp(-p/2) = exp(-x^2/2)\\
y = u+sin x = exp(-x^2/2)+sin x](https://tex.z-dn.net/?f=2u%60%2Bu+%3D+0%5C%0Au+%3D+exp%28-p%2F2%29+%3D+exp%28-x%5E2%2F2%29%5C%5C%0Ay+%3D+u%2Bsin+x+%3D+exp%28-x%5E2%2F2%29%2Bsin+x "2u`+u = 0\
u = exp(-p/2) = exp(-x^2/2)\\
y = u+sin x = exp(-x^2/2)+sin x")
Тогда
Фактически, мы угадали частное решение. Теперь найдем общее решение однородного уравнения. На самом деле нет, не найдем, просто найдем частное, но нам же задача ставится только функцию подобрать. Сделаем замену p = x^2, тогда
Где обратный штрих означает производную по p. Подставим все и получим
Частным решением последнего уравнения будет
Ответ дал:
0
В моих терминах можно просто сказать u = 0
Ответ дал:
0
Просто я решил пойти чуть дальше и найти хотя бы одно нетривиальное u, но это непринципиально
Ответ дал:
0
можно другое решение?
Ответ дал:
0
Можно, конечно
Ответ дал:
0
Можете его написать?
Похожие вопросы
2 года назад
2 года назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад