треугольники АВС и АDС равносторонние. отрезки BD и AC пересекаются в трчке O. Докажите, что BO=DO и AO перпендикулярно BD

В равностороннем треугольнике по определению все стороны равны. Поэтому, если  треугольники АВС и АDС имеют одну общую сторону АС, то все их стороны равны между собой. Следовательно, четырехугольник АВСD - ромб, а у ромба диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
Поэтому BO=DO и AO перпендикулярно BD.