Для функции f(x) найдите первообразную, обладающую указанными свойствами (пример на фото) :

Для функции f(x)  найдите первообразную, обладающую указанными свойствами:
график первообразной проходит через точки A  и B,если 
f ' (x) =16 / x³ ; A(1;10 ) , B(4 ; - 2) .
-----------------------
СКОРЕЕ  ВСЕГО не   f ' (x) =16 / x³  , а   f ' ' (x) =16 / x³ .
-----------------------
f ' '(x) =16 * x⁻³⇒ f ' (x) = 16 * x(⁻³⁺¹)/(-3+1)+C₁ = -8 * x⁻² +C₁   
f (x) = 8/x +C₁*x +C₂.
Для определения неопределенных коэффициентов C₁ и C₂ используем начальные условия :
f (1) =8/1  +C₁*1  + C₂ =10   ⇒ C₁ + C₂ =2.
f (4) =8/4  +C₁*4  + C₂ = -2   ⇒4C₁ + C₂ = -4.
{ C₁ + C₂ =2 ;4C₁ + C₂ = - 4 .⇔{ C₁ + C₂ =2 ; -3C₁ =6.⇔{ C₁= - 2 ; C₂ =4.

Ответ   : f(x) =  8/x - 2x + 4.

* * * *

Спасиибо вам огромное! Но я не могу понять,на каком основании, найдя первообразную, вы "отдаёте" С1 "x"? f ' '(x) =16 * x⁻³⇒ f ' (x) = 16 * x(⁻³⁺¹)/(-3+1)+C₁ = -8 * x⁻² +C₁
f (x) = 8/x +C₁*x +C₂.