В треугольнике ABC со сторонами AB=12, BC=15, AC=9 проведена биссектриса . Пусть - точка касания AB с вписанной в треугольник окружностью, отрезки и пересекаются в точке P, продолжение AP пересекает BC в точке . Найти отношение
.

Т.к. 9²+12²=15², то ∠A - прямой. Значит r=AC₁=(9+12-15)/2=3, откуда C₁B=12-3=9 и AC₁/C₁B=1/3. Т.к. BB₁ - биссектриса, то CB₁/B₁A=BC/BA=5/4. По т. Чевы (BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)·(AC₁/C₁B)=1, откуда
A₁C/BA₁=(5/4)·(1/3)=5/12, т.е. BA₁=(12/17)BC=12·15/17. Т.к. BP - биссектриса треугольника ABA₁, то AP/PA₁=AB/BA₁=12/(12·15/17)=17/15.

Да, верно. Правда, тогда решение стало бы совсем уж эзотерическим )

В последнее время я вообще не понимаю, как раньше жил без Ван-Обеля. С его помощью проще всего объяснять, почему медианы делятся как 2 к 1, биссектрисы как сумма прилежащих сторон к противолежащей, высоты как косинус к произведению косинусов