Предмет: Алгебра
Автор: karavanov1
Вопрос задан 8 лет назад

$intlimits^infty_0 {frac{5sinx}{x} , dx$

Ответы

Ответ дал: NNNLLL54

$A=int limits _0^{infty }frac{sinx}{x}dx$

Рассмотрим функцию $I(t)=int limits _0^{infty }e^{-tx}cdot frac{sinx}{x}dx; ,; ; t geq 0$ .

Тогда $A=I(0)$ .
Дифференцируя под знаком интеграла по переменной t получим :

$I'(t)=-int limits _0^{infty }e^{-tx}cdot sinx, dx$

Этот интеграл легко вычисляется при t>0 по частям:

$I'(t)=frac{1}{t}cdot int limits _0^{infty }sinxcdot d(e^{-tx})=[int u, dv=uv-int v, du; ]=\\=frac{1}{t}(sinxcdot e^{-tx}|_0^{infty }-int limits _0^{infty }e^{-tx}cdot cosx, dx)=\\=frac{1}{t^2}(cosxcdot e^{-tx}|_0^{infty }+int limits _0^{infty }e^{-tx}cdot sinx, dx)=frac{1}{t^2}Big (-1-I'(t)Big )\\I'(t)=frac{1}{t^2}Big (-1-I'(t)Big ); ; to ; ; I'(t)=-frac{1}{1+t^2}$

Интегрируя полученное соотношение находим

$I(t)=-int frac{dt}{1+t^2}=-arctgt+C$

Постоянную С находим из условия $I(+infty )=0$ .

$\0=-frac{pi}{2}+C; ; to ; ; ; C=frac{pi}{2}\\I(t)=frac{pi}{2}-arctgt$

Функция $I(t)$ непрерывна, поэтому искомый интеграл может быть найден с помощью предельного перехода:

$intlimits^{infty }_0 {frac{sinx}{x}dx} =I(0)=limlimits _{tto 0}I(t)=limlimits _{tto 0}(frac{pi}{2}-arctgt)=frac{pi}{2}\\\ intlimits^{infty }_0 {frac{5sinx}{x}} , dx =frac{5pi}{2}$

Похожие вопросы

Русский язык

2 года назад

Записать 6 пословиц прилогательные в Р.п.

Русский язык

2 года назад

Какие буквы пропущены в словах альбом обезьяна объявление помощь мелочь рельс платье подъезд объем объяснение вьюга ложь и Медведь глушь По какому признаку можно распределить слова в 4 группы и

Музыка

6 лет назад

у кого ещё Бетховен брал уроки в Вене. поставлю 5 звёзд

Математика

6 лет назад