Геометр поставил на окружности несколько точек. Затем он измерил все расстояния между этими точками. Получилось не более 40 различных чисел. Какое наибольшее количество точек он мог поставить?

Чтобы ИЗМЕРИТЬ расстояние между двумя точками, надо провести между ними прямую и измерить длину отрезка между этими точками.
Геометр, расставляя точки на окружности получил вписанный многоугольник.
Формула КОЛИЧЕСТВА диагоналей многоугольника:
K=n*(n-3)/2.
Расположив, к примеру, 6 точек на окружности, он получил шестиугольник с 9 диагоналями, да еще 6 сторон - итого 15 отрезков, которые он измерил. Предположим, что все отрезки разные.
Значит, для получения 15 разных чисел он расставил 6 точек.
Но предположим, что многоугольник получился правильным.
И тогда мы увидим, что РАЗНЫХ чисел у геометра получилось только 3 сторона (все стороны равны) и две диагонали (все остальные попарно равны измеренным двум). Получилось так потому, что правильный n-угольник имеет n осей симметрии, проходящих через его центр.
Если n - четно, то оси симметрии правильного многоугольника содержат
противоположные вершины.
Если n - нечетно, то осями симметрии правильного многоугольника являются прямые, каждая из которых проходит через вершину многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Проведем ось симметрии для нашего 6-угольника. Она пройдет через ЛЮБЫЕ две противоположные вершины и окажется, что две вершины, лежащие по разные стороны оси симметрии, равноудалены от вершины, через которую проходит ось симметрии, но имеют разную длину.
Один из этих отрезков в 6-угольнике совпадает со стороной 6-угольника и его не считаем. И плюс расстояние между противоположными вершинами. Итого 2 разных отрезка. Да еще отрезок - сторона многоугольника. Итого 3 РАЗНЫХ отрезка.
Рассмотрим правильный 7-угольник, у которого ось симметрии пройдет через вершину и середину противоположной стороны. Мы получим те же 2 разных отрезка по одну из сторон оси симметрии плюс отрезок - сторону. Итого - те же 3 разных отрезка.
Итак, построив правильный 7-угольник, мы получили 3 разных отрезка или наоборот, чтобы получить 3 разных числа (отрезка) нам пришлось построить правильный 7-угольник.
Получили формулу: О=(n-1)/2, или наоборот, n=2*O+1,
где О - максимальное количество разных отрезков.
Так как геомтру необходимо получить МАКСИМАЛЬНОЕ число точек, то для получения 40 РАЗНЫХ чисел ему понадобится расположить на окружности 81 точку, построив ПРАВИЛЬНЫЙ 81-угольник.

P.S. Строить правильный 81-угольник сложно. На рисунке для примера дан 21-угольник. Для  проверки формулы можете легко построить 8 и 9-угольники или 10 и 11 угольники и сравнить их.